Kartesisches Produkt
Das kartesische Produkt A × B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B. Basis für Relationen und Funktionen.
detaillierte erklärung
Das kartesische Produkt (auch Kreuzprodukt) von zwei Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare: A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}. Beispiel: A = {1, 2}, B = {x, y} → A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}. Kardinalität: |A × B| = |A| · |B| (Produktregel). Das Produkt ist NICHT kommutativ: A × B ≠ B × A (außer A = B), da (a, b) ≠ (b, a). Für drei Mengen: A × B × C = {(a, b, c) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}. Anwendungen: 1) Relationen sind Teilmengen von A × B (R ⊆ A × B). 2) Funktionen sind spezielle Relationen (Gf ⊆ A × B). 3) Koordinatensysteme (ℝ × ℝ = ℝ²). 4) Datenbank-Joins (kartesisches Produkt zweier Tabellen). Visualisierung: Gitter mit |A| Zeilen und |B| Spalten.
warum ist das wichtig?
Das kartesische Produkt ist fundamental für Relationen (Relationen sind Teilmengen von A × B), Funktionen (Graph = Teilmenge von A × B) und Datenbank-Theorie (Joins). In Klausuren wird oft nach |A × B| oder Elementen von A × B × C gefragt.
häufige fehler
- ⚠A × B = B × A - Nein, nicht kommutativ ((a, b) ≠ (b, a))
- ⚠|A × B| = |A| + |B| - Nein, Multiplikation: |A × B| = |A| · |B|
- ⚠Kartesisches Produkt = Vereinigung - Nein, Vereinigung mischt Elemente, Produkt erzeugt Paare