Bild, Urbild & Co.: Die visuelle Anleitung, die in jeder Vorlesung fehlt

Warum scheitern so viele an Bildern und Urbildern?

In der Analysis und Diskreten Mathe stolpern Studierende über Begriffe, die eigentlich simpel sind:

• Was ist der Unterschied zwischen Wertemenge und Bildmenge?
• Warum kann das Urbild mehrere Elemente haben?
• Was bedeutet "strenges Bild" überhaupt?

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Die Grundlagen: Was ist eine Funktion?

Eine Funktion $f: A \to B$ ist eine Zuordnung, die jedem Element aus $A$ genau ein Element aus $B$ zuordnet.

Funktionen als spezielle Relationen

Eine Funktion ist eigentlich eine Relation $f \subseteq A \times B$ mit zwei besonderen Eigenschaften:

1. Linkstotal (total / defined everywhere)

Jedes Element der Definitionsmenge hat ein Bild.

$\forall a \in A: \exists b \in B: (a,b) \in f$

• Bedeutung: Keine "Lücken" – jedes Element links hat mindestens einen Pfeil
• Im Diagramm: Jedes Element auf der linken Seite hat einen ausgehenden Pfeil
• Intuitiv: Die Funktion ist überall definiert

2. Rechtseindeutig (functional / well-defined)

Jedes Element der Definitionsmenge hat höchstens ein Bild.

$\forall a \in A, b_1, b_2 \in B: (a,b_1) \in f \land (a,b_2) \in f \implies b_1 = b_2$

• Bedeutung: Keine Verzweigungen – jedes Element links hat höchstens einen Pfeil
• Im Diagramm: Von jedem Element auf der linken Seite geht maximal ein Pfeil aus
• Intuitiv: Die Funktion ist eindeutig bestimmt

Beispiele: Was ist eine Funktion, was nicht?

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Die drei Mengen im Überblick

1. Definitionsmenge (Domain) – Die Eingabemenge

Die Definitionsmenge $A$ (auch $\text{dom}(f)$ oder $D_f$) ist die Menge aller Eingabewerte, für die die Funktion definiert ist.

• Beispiel: Bei $f: \{1,2,3\} \to \{a,b,c,d\}$ ist die Definitionsmenge $\{1,2,3\}$
• Im Diagramm: Alle Elemente auf der linken Seite
• Wichtig: Jedes Element der Definitionsmenge muss ein Bild haben (linkstotal)

2. Wertemenge (Codomain) – Die Zielmenge

Die Wertemenge $B$ ist die Menge, in die abgebildet wird. Sie gibt an, welche Werte theoretisch als Funktionswerte möglich sind.

• Beispiel: Bei $f: \{1,2,3\} \to \{a,b,c,d\}$ ist die Wertemenge $\{a,b,c,d\}$
• Im Diagramm: Alle Elemente auf der rechten Seite
• Wichtig: Die Wertemenge kann größer sein als die Menge der tatsächlich erreichten Werte

3. Bildmenge (Image/Range) – Die erreichten Werte

Die Bildmenge $f(A)$ (auch $\text{Im}(f)$) ist die Menge der Werte, die tatsächlich als Funktionswerte auftreten.

• Beispiel: Wenn $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=b$, dann ist $f(A) = \{a,b\}$ (nicht $\{a,b,c,d\}$!)
• Im Diagramm: Nur die Elemente rechts, die mindestens einen Pfeil erhalten
• Wichtig: Es gilt immer $f(A) \subseteq B$ (Bildmenge ist Teilmenge der Wertemenge)

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Bild einer Teilmenge

Das Bild einer Teilmenge $M \subseteq A$ ist die Menge aller Werte, auf die Elemente aus $M$ abgebildet werden:

$f(M) = \{f(x) \mid x \in M\} = \{y \in B \mid \exists x \in M: f(x) = y\}$

Wichtig: Auch wenn $1 \to a$ und $3 \to b$, ist $f(\{1,3\}) = \{a,b\}$ – es werden beide Zielelemente gesammelt!

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Urbild einer Teilmenge

Das Urbild einer Teilmenge $N \subseteq B$ ist die Menge aller Elemente, die auf $N$ abgebildet werden:

$f^{-1}(N) = \{x \in A \mid f(x) \in N\}$

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Strenges Bild vs. normales Bild

Das strenge Bild (oder Restriktion) einer Teilmenge betrachtet nur die Funktionswerte innerhalb der Zielmenge:

$f(M) \cap N$

Unterschied:

• Normales Bild: $f(\{1,2\}) = \{a,b\}$
• Strenges Bild mit $N=\{a,c\}$: $f(\{1,2\}) \cap \{a,c\} = \{a\}$

Das strenge Bild filtert nur die Werte, die sowohl im Bild als auch in $N$ liegen.

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Interaktives Beispiel: Erkunde selbst!

Probier es aus:

• Klick auf $x_2$ (links): Bild ist $\{y_2\}$
• Klick auf $y_2$ (rechts): Urbild ist $\{x_2, x_3\}$ – beide bilden auf $y_2$ ab!

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Die wichtigsten Eigenschaften von Bild und Urbild

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Injektiv, Surjektiv, Bijektiv – visuell

Injektiv (eineindeutig)

Verschiedene Eingaben → verschiedene Ausgaben. Keine zwei Pfeile treffen dasselbe Ziel.

$\forall x_1, x_2 \in A: f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$

Surjektiv (onto)

Jedes Element der Wertemenge wird getroffen. Bildmenge = Wertemenge.

$\forall y \in B: \exists x \in A: f(x) = y$

Bijektiv (eineindeutig und onto)

Injektiv und surjektiv. Perfekte Paarung – jede Eingabe hat genau eine Ausgabe, jede Ausgabe genau eine Eingabe.

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Zusammenfassung: Die wichtigsten Begriffe

Mengen einer Funktion

• Definitionsmenge $A$: Alle Eingabewerte, für die $f$ definiert ist
• Wertemenge $B$: Die Zielmenge, in die abgebildet wird
• Bildmenge $f(A)$: Die tatsächlich erreichten Werte (Teilmenge von $B$)

Bild und Urbild

• Bild $f(M)$: Wohin werden die Elemente aus $M \subseteq A$ abgebildet?

  • $f(M) = \{f(x) \mid x \in M\}$
  • "Was kommt raus?"

• Urbild $f^{-1}(N)$: Welche Elemente bilden auf $N \subseteq B$ ab?

  • $f^{-1}(N) = \{x \in A \mid f(x) \in N\}$
  • "Was geht rein?"
  • Wichtig: $f^{-1}$ ist hier nur Notation, nicht die Umkehrfunktion!

• Strenges Bild: $f(M) \cap N$ – zusätzlich auf $N$ gefiltert

Funktionseigenschaften

Definitionsseite (links):

• Linkstotal: Jedes Element aus $A$ hat ein Bild
• Rechtseindeutig: Jedes Element aus $A$ hat höchstens ein Bild
• → Funktion: Linkstotal + Rechtseindeutig

Werteseite (rechts):

• Injektiv: Verschiedene Eingaben → verschiedene Ausgaben
• Surjektiv: Jedes Element aus $B$ wird getroffen ($f(A) = B$)
• Bijektiv: Injektiv + Surjektiv → Umkehrfunktion existiert

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Praktische Tipps für die Klausur

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Key Takeaways

• Definitionsmenge: Alle Eingaben ($A$)
• Wertemenge: Alle möglichen Ausgaben ($B$)
• Bildmenge: Alle tatsächlich erreichten Ausgaben ($f(A) \subseteq B$)
• Bild $f(M)$: Wohin werden Elemente aus $M$ abgebildet?
• Urbild $f^{-1}(N)$: Welche Elemente bilden auf $N$ ab?
• Strenges Bild: $f(M) \cap N$ – zusätzlich gefiltert
• Injektiv: Verschiedene Eingaben → verschiedene Ausgaben
• Surjektiv: Bildmenge = Wertemenge (alles wird getroffen)
• Bijektiv: Injektiv + Surjektiv → Umkehrfunktion existiert