Abgeschlossenheit
Eine Operation ∗ ist auf einer Menge M abgeschlossen, wenn das Ergebnis a∗b für alle a,b ∈ M wieder in M liegt. Das Ergebnis "fällt nicht aus der Menge heraus".
detaillierte erklärung
Abgeschlossenheit ist die fundamentalste Eigenschaft algebraischer Strukturen. Formal: Eine Operation ∗: M × M → M ist auf M abgeschlossen, wenn ∀a,b ∈ M: a∗b ∈ M gilt. Die Menge ist "nach innen gerichtet" - egal welche Elemente du kombinierst, das Ergebnis bleibt in der Menge. Beispiele: (ℕ,+) ist abgeschlossen, aber (ℕ,−) NICHT (5−7=−2 ∉ ℕ). Eselsbrücke "Alle Affen Naschen Ingwer": A = Abgeschlossenheit (erste Prüfung!). Ohne Abgeschlossenheit keine algebraische Struktur.
warum ist das wichtig?
Abgeschlossenheit ist die erste Eigenschaft, die du in Klausuren prüfst - ohne sie ist die Struktur ungültig (Eselsbrücke beginnt hier!). Sie scheitert oft bei Subtraktion auf ℕ oder Division auf ℤ.
häufige fehler
- ⚠(ℕ,−) ist abgeschlossen - Nein! 3−5=−2 ∉ ℕ
- ⚠(ℤ,÷) ist abgeschlossen - Nein! 5÷2=2.5 ∉ ℤ
- ⚠Abgeschlossenheit nur für kommutative Operationen - Nein, gilt auch für Matrizenmultiplikation