Assoziativität
Eine Operation ∗ ist assoziativ, wenn die Klammerung egal ist: (a∗b)∗c = a∗(b∗c) für alle a,b,c. Die Reihenfolge der Ausführung spielt keine Rolle, nur die Reihenfolge der Elemente.
detaillierte erklärung
Assoziativität ist die zweite Eigenschaft in der Hierarchie algebraischer Strukturen (Eselsbrücke "Alle Affen Naschen Ingwer": A = Assoziativität). Formal: ∀a,b,c ∈ M: (a∗b)∗c = a∗(b∗c). Mit Abgeschlossenheit + Assoziativität = Halbgruppe. Beispiele: (+,·,∘ auf ℝ), Matrizenmultiplikation, String-Konkatenation. NICHT assoziativ: (−,÷,^) - Test: (8−4)−2=2, aber 8−(4−2)=6. KRITISCH: Assoziativität ≠ Kommutativität! Matrizenmultiplikation: assoziativ, aber NICHT kommutativ.
warum ist das wichtig?
Assoziativität ist DIE definierende Eigenschaft von Halbgruppen und damit Grundlage für alle höheren Strukturen. In Klausuren musst du sie nachweisen oder Gegenbeispiele konstruieren (− und ÷ sind Standard-Fallen!).
häufige fehler
- ⚠Assoziativität = Kommutativität - Nein! Assoziativität betrifft Klammern, Kommutativität die Reihenfolge
- ⚠(ℝ,−) ist assoziativ - Nein! (8−4)−2 = 2, aber 8−(4−2) = 6
- ⚠Alle Operationen sind assoziativ - Nein! −, ÷, ^ sind NICHT assoziativ