Kommutativität
Eine Operation ∗ ist kommutativ, wenn die Reihenfolge egal ist: a∗b = b∗a für alle a,b. Addition und Multiplikation sind kommutativ, Subtraktion und Matrizenmultiplikation nicht.
detaillierte erklärung
Kommutativität (lat. commutare = vertauschen) ist die OPTIONALE Eigenschaft in algebraischen Strukturen - sie definiert abelsche Gruppen/Ringe. Formal: ∀a,b ∈ M: a∗b = b∗a. Wichtig: Kommutativität ist UNABHÄNGIG von den anderen Eigenschaften. Eselsbrücke "Alle Affen Naschen Ingwer": K kommt NICHT vor, weil optional! Kommutative Operationen: (+,·,∪,∩,∧,∨,gcd,lcm). NICHT kommutativ: (−,÷,^,Matrizenmultiplikation,Funktionskomposition). KRITISCH: Nicht verwechseln mit Assoziativität!
warum ist das wichtig?
Kommutativität unterscheidet abelsche von nicht-abelschen Gruppen - entscheidend für Kryptographie. In Klausuren: Prüfe mit Gegenbeispiel (Matrizen sind Standard-Beweis für Nicht-Kommutativität).
häufige fehler
- ⚠Matrizenmultiplikation ist kommutativ - Nein! AB ≠ BA im Allgemeinen
- ⚠Kommutativ = Assoziativ - Nein! Kommutativ: a∗b=b∗a (Reihenfolge), Assoziativ: (a∗b)∗c=a∗(b∗c) (Klammern)
- ⚠Alle Gruppen sind kommutativ - Nein! S₃, GL_n(ℝ) sind nicht-kommutativ