Bijektiv (Bijektive Funktion)
Eine Funktion f: A → B ist bijektiv, wenn sie injektiv UND surjektiv ist. Jedes Element in B wird genau einmal getroffen. Bijektive Funktionen sind umkehrbar.
detaillierte erklärung
Bijektivität kombiniert Injektivität (keine Kollisionen) und Surjektivität (alle Outputs getroffen). Formal: 1) ∀x, y ∈ A: f(x) = f(y) ⇒ x = y (injektiv). 2) ∀b ∈ B: ∃a ∈ A: f(a) = b (surjektiv). Visualisierung: Jedes Element in B hat genau einen Pfeil (1-zu-1-Korrespondenz). Bijektive Funktionen sind umkehrbar: Umkehrfunktion f⁻¹: B → A existiert mit f⁻¹(f(x)) = x und f(f⁻¹(y)) = y. Beispiele: f(x) = 2x + 1 (ℝ → ℝ) ist bijektiv, f⁻¹(x) = (x - 1)/2. Gegenbeispiele: f(x) = x² (ℝ → ℝ) ist weder injektiv (f(-2) = f(2)) noch surjektiv (negative Zahlen). Anwendungen: Verschlüsselung (muss bijektiv sein, sonst nicht entschlüsselbar), Permutationen (Bijektionen auf endlichen Mengen), Kardinalität (A und B haben gleich viele Elemente, wenn Bijektion existiert).
warum ist das wichtig?
Bijektivität ist zentral für Umkehrbarkeit - du musst verstehen, dass nur bijektive Funktionen umkehrbar sind. Essentiell für Kryptographie (Verschlüsselungsfunktionen müssen bijektiv sein) und Kombinatorik (Permutationen zählen).
häufige fehler
- ⚠Jede Funktion ist umkehrbar - Nein, nur bijektive Funktionen haben Umkehrfunktion
- ⚠Bijektiv = Injektiv - Nein, bijektiv = injektiv + surjektiv (beide Bedingungen)
- ⚠f(x) = x² ist bijektiv - Nein, weder injektiv noch surjektiv (ℝ → ℝ)