Injektiv (Injektive Funktion)
Eine Funktion f: A → B ist injektiv, wenn verschiedene Inputs verschiedene Outputs haben: f(x) = f(y) ⇒ x = y. Keine zwei Elemente aus A landen beim selben Element in B.
detaillierte erklärung
Injektivität bedeutet, dass die Funktion jedes Element aus A auf ein eindeutiges Element aus B abbildet - keine "Kollisionen". Formal: ∀x, y ∈ A: f(x) = f(y) ⇒ x = y. Äquivalente Formulierung (Kontraposition): x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y). Visualisierung: Jedes Element in B hat maximal einen Pfeil (kann auch keinen haben). Beispiele: f(x) = 2x (ℝ → ℝ) ist injektiv (verschiedene x → verschiedene 2x). Gegenbeispiel: f(x) = x² (ℝ → ℝ) ist NICHT injektiv (f(-2) = f(2) = 4). Injektivität ist nötig für Umkehrbarkeit: Wenn f injektiv und surjektiv (= bijektiv), existiert Umkehrfunktion f⁻¹. Horizontaler-Linien-Test: Graph schneidet jede horizontale Linie maximal einmal → injektiv.
warum ist das wichtig?
Injektivität ist Klausur-Standard - du musst beweisen können, dass f(x) = f(y) ⇒ x = y gilt. Injektive Funktionen sind Basis für Verschlüsselung (keine Kollisionen, sonst nicht entschlüsselbar) und Datenbank-Keys.
häufige fehler
- ⚠Injektiv = Surjektiv - Nein, injektiv = keine Kollisionen, surjektiv = alle Outputs getroffen
- ⚠f(x) = x² ist injektiv - Nein, f(-2) = f(2) = 4 (Kollision), nur auf ℝ⁺ injektiv
- ⚠Injektiv bedeutet 'ein Element in B' - Nein, viele Elemente in B können ungetroffen bleiben