Surjektiv (Surjektive Funktion)
Eine Funktion f: A → B ist surjektiv, wenn jedes Element aus B mindestens einmal getroffen wird: ∀b ∈ B: ∃a ∈ A: f(a) = b. Der Wertebereich ist komplett.
detaillierte erklärung
Surjektivität bedeutet, dass die Funktion den gesamten Wertebereich B abdeckt - kein Element in B bleibt "ungenutzt". Formal: ∀y ∈ B: ∃x ∈ A: f(x) = y. Jedes Element in B hat mindestens einen Pfeil (kann mehrere haben). Beispiele: f(x) = 2x (ℝ → ℝ) ist surjektiv (jede reelle Zahl wird getroffen). Gegenbeispiel: f(x) = x² (ℝ → ℝ) ist NICHT surjektiv (negative Zahlen werden nie getroffen, nur ℝ⁺). Beweis: Sei y ∈ B beliebig. Zeige, dass x ∈ A existiert mit f(x) = y (konstruktiv). Horizontaler-Linien-Test: Jede horizontale Linie schneidet den Graphen mindestens einmal → surjektiv. Surjektivität hängt vom Wertebereich ab: f(x) = x² ist nicht surjektiv (ℝ → ℝ), aber surjektiv (ℝ → ℝ⁺).
warum ist das wichtig?
Surjektivität ist Klausur-Standard - du musst zeigen können, dass jedes y ∈ B ein Urbild hat. Surjektive Funktionen sind wichtig für Kodierung (alle Codes müssen erreichbar sein) und Hashing (Wertebereich sollte gut genutzt werden).
häufige fehler
- ⚠Surjektiv = Injektiv - Nein, surjektiv = alle Outputs getroffen, injektiv = keine Kollisionen
- ⚠f(x) = x² (ℝ → ℝ) ist surjektiv - Nein, negative Zahlen werden nie getroffen
- ⚠Surjektiv bedeutet 'jedes Element genau einmal' - Nein, mindestens einmal (mehrfach ist ok)