Natürliche Zahlen (ℕ)
Die natürlichen Zahlen ℕ sind die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... (oder 1, 2, 3, ... je nach Definition). Sie sind die einfachsten Zahlen und Grundlage für vollständige Induktion.
detaillierte erklärung
Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge in der Mathematik. Zwei Definitionen existieren: ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} (Notation ℕ₀) oder ℕ = {1, 2, 3, ...} (Notation ℕ₊ oder ℕ*). In der modernen Mathematik ist ℕ₀ üblicher. Die natürlichen Zahlen werden axiomatisch durch die Peano-Axiome definiert: (1) 0 ist eine natürliche Zahl, (2) Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger S(n), (3) 0 ist kein Nachfolger, (4) Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger, (5) Induktionsaxiom: Wenn P(0) gilt und P(n)→P(S(n)), dann gilt P für alle ℕ. Diese Struktur macht vollständige Induktion möglich. ℕ ist abzählbar unendlich, abgeschlossen unter + und ×, aber nicht unter − und ÷.
warum ist das wichtig?
Natürliche Zahlen sind Grundlage für Induktionsbeweise, Rekursion, Algorithmen-Komplexität (O-Notation), Kombinatorik und diskrete Strukturen. Jeder Informatiker muss mit ℕ sicher umgehen können.
häufige fehler
- ⚠0 gehört zu ℕ oder nicht? - Kontext beachten! In Informatik meist ja, in älterer Literatur nein
- ⚠ℕ ist abgeschlossen unter Subtraktion - Nein! 3-5 ∉ ℕ → dafür braucht man ℤ
- ⚠Verwechslung mit ℤ (ganzen Zahlen) - ℕ enthält keine negativen Zahlen