Vollständige Induktion
Vollständige Induktion ist eine Beweismethode für Aussagen über natürliche Zahlen: Man zeigt, dass P(1) gilt und dass aus P(n) stets P(n+1) folgt. Daraus folgt P(n) für alle n ∈ ℕ.
detaillierte erklärung
Die vollständige Induktion ist ein fundamentales Beweisverfahren in der Mathematik, das auf der Struktur der natürlichen Zahlen basiert. Sie besteht aus zwei Schritten: (1) Induktionsbasis: Man beweist, dass die Aussage P(n) für einen Startwert (meist n=0 oder n=1) gilt. (2) Induktionsschritt: Man beweist, dass für beliebiges n gilt: Wenn P(n) wahr ist (Induktionsannahme), dann ist auch P(n+1) wahr. Aus beiden Schritten folgt per Induktionsprinzip, dass P(n) für alle natürlichen Zahlen ab dem Startwert gilt. Die Methode funktioniert, weil jede natürliche Zahl durch endlich viele Nachfolger-Schritte vom Startwert aus erreichbar ist. Häufiger Fehler: Die Induktionsannahme nicht aktiv verwenden oder nur konkrete Werte prüfen statt die allgemeine Implikation zu beweisen.
warum ist das wichtig?
Vollständige Induktion ist das wichtigste Werkzeug für Beweise über natürliche Zahlen in Diskreter Mathematik, Algorithmenanalyse und theoretischer Informatik. Sie kommt in fast jeder Mathe-Klausur vor und ist Grundlage für rekursive Datenstrukturen.
häufige fehler
- ⚠Nur Basis + n=2 prüfen statt echten Induktionsschritt - Das ist KEIN Induktionsbeweis
- ⚠Induktionsannahme nicht verwenden - Dann ist es direkter Beweis, keine Induktion
- ⚠Basis vergessen - Ohne gültigen Start fällt die ganze Beweiskette
- ⚠P(n+1) direkt beweisen ohne P(n) zu nutzen - Dann macht Induktion keinen Sinn