Beweis
Ein mathematischer Beweis ist eine logisch korrekte Argumentationskette, die aus Axiomen, Definitionen und bereits bewiesenen Sätzen eine Aussage zwingend herleitet. Ein Beweis zeigt nicht nur, dass etwas gilt, sondern warum.
detaillierte erklärung
Ein Beweis ist eine formale Herleitung, die eine mathematische Aussage als notwendige Folgerung aus akzeptierten Grundlagen (Axiome, Definitionen, bekannte Sätze) etabliert. Im Gegensatz zu empirischer Verifikation oder Plausibilität garantiert ein korrekter Beweis absolute Gewissheit innerhalb des zugrunde liegenden Axiomensystems. Wichtige Beweistechniken: (1) Direkter Beweis: A → B direkt zeigen, (2) Widerspruchsbeweis: ¬B annehmen und Widerspruch herleiten, (3) Kontraposition: ¬B → ¬A beweisen statt A → B, (4) Vollständige Induktion: Für Aussagen über ℕ, (5) Fallunterscheidung: Alle möglichen Fälle einzeln abdecken. Ein Beweis gilt als vollständig, wenn jeder Schritt logisch aus vorherigen folgt und keine Lücken existieren.
warum ist das wichtig?
Beweise sind das Fundament der Mathematik und trennen sie von anderen Wissenschaften. In Diskreter Mathematik, Algorithmenanalyse und theoretischer Informatik sind Beweistechniken unverzichtbar. Klausuren verlangen oft formale Beweise, nicht nur Rechnungen.
häufige fehler
- ⚠Beispiele statt Beweis - Ein Beispiel zeigt nicht, dass etwas für ALLE Fälle gilt
- ⚠Informelle Argumentation - 'Es ist offensichtlich' ist kein Beweis
- ⚠Zirkelschluss - Das zu Beweisende als Annahme verwenden
- ⚠Lücken in der Argumentation - Jeden Schritt muss begründet sein