Symmetrisch
Eine Relation R ist symmetrisch, wenn aus xRy immer yRx folgt. Im Graphen: Jede Kante hat eine Gegenkante. Beispiel: "ist verheiratet mit".
detaillierte erklärung
Eine Relation R auf Menge M ist symmetrisch, wenn für alle Elementpaare gilt: Falls x zu y in Relation steht, dann steht auch y zu x in Relation. Formal: ∀x,y ∈ M: xRy ⇒ yRx. Im Graphen bedeutet das: Jede gerichtete Kante x→y hat eine Gegenkante y→x. Daher kann man symmetrische Relationen als ungerichtete Graphen zeichnen. In der Adjazenzmatrix: Spiegelung an der Hauptdiagonale (Matrix ist symmetrisch). Beispiele: Gleichheit (x = y ⇒ y = x), "ist verheiratet mit" (bidirektional), "ist Geschwister von". Gegenbeispiel: < ist NICHT symmetrisch (5 < 7, aber nicht 7 < 5). Achtung: Symmetrisch ≠ Antisymmetrisch! Antisymmetrie erlaubt Gegenkanten nur bei gleichen Elementen (x = y), Symmetrie fordert Gegenkanten überall. Symmetrie ist Bedingung für Äquivalenzrelationen.
warum ist das wichtig?
Symmetrie ist die am häufigsten verwechselte Eigenschaft (mit Antisymmetrie). Du musst verstehen: Symmetrisch = alle Kanten haben Gegenkanten, Antisymmetrisch = nur gleiche Elemente dürfen Gegenkanten haben. Kritisch für Äquivalenzrelationen vs Halbordnungen.
häufige fehler
- ⚠Symmetrisch = Antisymmetrisch - Nein, fast Gegensätze! Symmetrisch fordert Gegenkanten, antisymmetrisch verbietet sie (außer bei x=y)
- ⚠'Ist Vater von' ist symmetrisch - Nein, einseitige Beziehung (wenn A Vater von B, ist B nicht Vater von A)
- ⚠Keine Relation = nicht symmetrisch - Nein, leere Relation ist vacuously symmetrisch (Implikation trivial wahr)