Antisymmetrisch
Eine Relation R ist antisymmetrisch, wenn xRy und yRx nur gilt, falls x = y. Verschiedene Elemente dürfen keine wechselseitigen Kanten haben. Beispiel: ≤.
detaillierte erklärung
Eine Relation R ist antisymmetrisch, wenn aus xRy und yRx stets x = y folgt. Formal: ∀x,y: (xRy ∧ yRx) ⇒ x = y. Bedeutung: Nur identische Elemente dürfen sich "gegenseitig zeigen", verschiedene nicht. Im Graphen: Gegenkanten nur bei Schleifen x→x, keine zwischen verschiedenen Knoten. Beispiele: ≤ (5 ≤ 7 und 7 ≤ 5 geht nur wenn 5 = 7), ⊆ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇒ A = B), Teilerrelation |. Gegenbeispiel: "kennt" ist NICHT antisymmetrisch (Alice kennt Bob und Bob kennt Alice, aber Alice ≠ Bob). KRITISCH: Antisymmetrisch ≠ Asymmetrisch! Asymmetrisch verbietet auch Schleifen (strenger), antisymmetrisch erlaubt sie. Asymmetrisch: xRy ⇒ ¬(yRx) für ALLE Paare. Antisymmetrie ist Bedingung für Halbordnungen.
warum ist das wichtig?
Antisymmetrie ist die #1 Fehlerquelle in Klausuren - ständig verwechselt mit asymmetrisch oder als "Gegenteil von symmetrisch" missverstanden. Du musst den Unterschied kennen: ≤ ist antisymmetrisch (erlaubt x ≤ x), < ist asymmetrisch (verbietet x < x).
häufige fehler
- ⚠Antisymmetrisch = Gegenteil von symmetrisch - Nein, nicht exakte Negation (beide können für leere Relation gelten)
- ⚠Antisymmetrisch = Asymmetrisch - Nein! Antisymmetrisch erlaubt Schleifen (≤), asymmetrisch nicht (<)
- ⚠≤ ist asymmetrisch - Nein, ≤ ist antisymmetrisch (erlaubt x ≤ x), < ist asymmetrisch