Inverses Element
Das inverse Element a⁻¹ zu a "macht die Operation rückgängig": a∗a⁻¹ = a⁻¹∗a = e (neutrales Element). Beispiele: −a für (+), 1/a für (·), a⁻¹ für Matrizen.
detaillierte erklärung
Das inverse Element ist die vierte Eigenschaft in der Strukturhierarchie (Eselsbrücke "Alle Affen Naschen Ingwer": I = Inverses Element). Formal: Für (M,∗,e) hat a ∈ M ein Inverses a⁻¹ ∈ M, wenn a∗a⁻¹ = a⁻¹∗a = e. Mit Abgeschlossenheit + Assoziativität + neutrales Element + Inverse für ALLE Elemente = Gruppe. Notation hängt von Operation ab: (+) → −a, (·) → a⁻¹ oder 1/a. Beispiele: (ℤ,+), (ℝ\{0},·), (GL_n(ℝ),·). Kein Inverses: 2 in (ℕ,+), 2 in (ℤ,·).
warum ist das wichtig?
Inverse sind DER entscheidende Unterschied zwischen Monoiden und Gruppen! In Klausuren musst du prüfen, ob ALLE Elemente Inverse haben oder konkret Inverse berechnen.
häufige fehler
- ⚠(ℤ,·) ist Gruppe - Nein! 2 hat kein Inverses in ℤ (bräuchte 1/2 ∉ ℤ)
- ⚠(ℕ,+) ist Gruppe - Nein! Kein Element außer 0 hat Inverses
- ⚠Inverses = Negatives - Nur für (+)! Für (·) ist es Kehrwert, für Matrizen inverse Matrix