Monoid
Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit neutralem Element. Die Operation ist assoziativ und abgeschlossen, und es existiert ein Element e mit e ∘ a = a ∘ e = a für alle a.
detaillierte erklärung
Ein Monoid (M, ∘, e) ist eine algebraische Struktur bestehend aus: 1) Einer Menge M. 2) Einer assoziativen, abgeschlossenen Operation ∘ (Halbgruppe). 3) Einem neutralen Element e ∈ M mit e ∘ a = a ∘ e = a für alle a ∈ M. Das neutrale Element ist eindeutig. Beispiele: (ℕ₀, +, 0), (ℕ₁, ·, 1), Strings mit Konkatenation und leerem String als e. Anwendung: Funktionale Programmierung (fold, reduce), Automaten, Datenbanken (Transaktionen).
warum ist das wichtig?
Monoide sind Klausur-Standard bei algebraischen Strukturen - du musst das neutrale Element identifizieren und nachweisen, dass es einzigartig ist. In funktionaler Programmierung sind Monoide fundamental für MapReduce.
häufige fehler
- ⚠Neutrales Element = 0 - Nein, hängt von Operation ab (bei · ist es 1, bei ∪ ist es ∅)
- ⚠Monoid braucht Kommutativität - Nein! String-Konkatenation ist Monoid aber nicht kommutativ
- ⚠Jede Halbgruppe ist Monoid - Nein, (ℕ₁, +) ist Halbgruppe aber kein Monoid (fehlt 0)