Halbgruppe
Eine Halbgruppe ist eine Menge mit einer assoziativen, abgeschlossenen Operation. Die Operation muss keine weiteren Eigenschaften erfüllen - kein neutrales Element, keine Inversen nötig.
detaillierte erklärung
Eine Halbgruppe (H, ∘) besteht aus einer Menge H und einer binären Operation ∘, die zwei Bedingungen erfüllt: 1) Abgeschlossenheit - für alle a,b ∈ H gilt: a ∘ b ∈ H (das Ergebnis liegt wieder in H). 2) Assoziativität - für alle a,b,c ∈ H gilt: (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c). Das ist die schwächste algebraische Struktur - keine Forderung nach neutralem Element oder Inversen. Beispiele: (ℕ, +) ist eine Halbgruppe. Strings mit Konkatenation bilden Halbgruppe. Nicht-kommutative Halbgruppe: Matrizenmultiplikation (AB ≠ BA möglich). Anwendungen: Automatentheorie, formale Sprachen, Kryptographie.
warum ist das wichtig?
Halbgruppen sind der Einstieg in algebraische Strukturen - du musst verstehen, warum (ℕ, +) keine Gruppe ist, aber (ℤ, +) schon. In Klausuren: Abgeschlossenheit und Assoziativität nachweisen, Gegenbeispiele für fehlende Eigenschaften finden.
häufige fehler
- ⚠Halbgruppe braucht neutrales Element - Nein, das macht daraus einen Monoid
- ⚠Assoziativität gilt automatisch - Nein! Muss explizit nachgewiesen werden (Subtraktion ist NICHT assoziativ)
- ⚠Halbgruppe = halb so viele Eigenschaften wie Gruppe - Nein, hat 2 von 4 Gruppenaxiomen