Gruppe
Eine Gruppe ist ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses besitzt. Die 4 Gruppenaxiome: Abgeschlossenheit, Assoziativität, neutrales Element, Inverse für alle Elemente.
detaillierte erklärung
Eine Gruppe (G, ∘) ist eine algebraische Struktur mit 4 Axiomen: 1) Abgeschlossenheit - ∀a,b ∈ G: a ∘ b ∈ G. 2) Assoziativität - ∀a,b,c ∈ G: (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c). 3) Neutrales Element - ∃e ∈ G mit e ∘ a = a ∘ e = a für alle a ∈ G. 4) Inverse - ∀a ∈ G ∃a⁻¹ ∈ G mit a ∘ a⁻¹ = a⁻¹ ∘ a = e. Beispiele: (ℤ, +), (ℝ\{0}, ·), Symmetrische Gruppe Sₙ. KEINE Gruppe: (ℕ, +) fehlen Inverse, (ℤ, ·) fehlen Inverse. Gruppen sind fundamental für Symmetrie-Analyse, Kryptographie (RSA, ECC), Quantenmechanik.
warum ist das wichtig?
Gruppen sind DAS zentrale Thema in abstrakter Algebra - jede Klausur enthält Gruppenbeweise. Du musst alle 4 Axiome nachweisen können und typische Nicht-Gruppen erkennen. Essentiell für Kryptographie-Verständnis.
häufige fehler
- ⚠(ℕ, +) ist eine Gruppe - Nein! Fehlen Inverse (-1, -2, ... nicht in ℕ)
- ⚠Gruppe braucht Kommutativität - Nein! Nicht-kommutative Gruppen existieren (Matrizen, Permutationen)
- ⚠Inverses von a ist -a - Nur bei Addition! Bei Multiplikation ist es 1/a