Abelsche Gruppe
Eine abelsche (kommutative) Gruppe erfüllt alle 4 Gruppenaxiome plus Kommutativität: a ∘ b = b ∘ a für alle a,b. Benannt nach Niels Henrik Abel.
detaillierte erklärung
Eine abelsche Gruppe (G, ∘) ist eine Gruppe mit der zusätzlichen Eigenschaft der Kommutativität: ∀a,b ∈ G gilt a ∘ b = b ∘ a. Sie erfüllt also 5 Axiome: Abgeschlossenheit, Assoziativität, neutrales Element, Inverse UND Kommutativität. Beispiele: (ℤ, +), (ℝ\{0}, ·), Vektorräume unter Addition. KEINE abelschen Gruppen: Symmetrische Gruppe Sₙ für n ≥ 3, Matrizenmultiplikation, Diedergruppe D₃. Anwendungen: Zahlentheorie, lineare Algebra, Kryptographie (ElGamal).
warum ist das wichtig?
Abelsche Gruppen vereinfachen viele Beweise massiv - in Klausuren kannst du bei kommutativen Gruppen Terme umstellen. Fundamental für Module, Ringe und Körper. Wichtig: NICHT jede Gruppe ist abelsch!
häufige fehler
- ⚠Alle Gruppen sind abelsch - Nein! Matrixmultiplikation, Permutationen (n≥3) sind nicht-kommutativ
- ⚠Abelsch = symmetrisch - Nein, verwechsle nicht Kommutativität mit Symmetrie-Eigenschaft von Relationen
- ⚠Nur Addition ist kommutativ - Nein, auch Multiplikation, XOR, Mengenverknüpfungen können kommutativ sein