Ring
Ein Ring ist eine algebraische Struktur mit zwei Operationen + und ·. (R, +) ist eine abelsche Gruppe, (R, ·) ist eine Halbgruppe, und · ist distributiv über +.
detaillierte erklärung
Ein Ring (R, +, ·) ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungen Addition (+) und Multiplikation (·), die drei Bedingungen erfüllen: 1) (R, +) ist eine abelsche Gruppe. 2) (R, ·) ist eine Halbgruppe - assoziativ, aber NICHT notwendig kommutativ. 3) Distributivgesetze gelten: a·(b+c) = a·b + a·c und (a+b)·c = a·c + b·c. Beispiele: (ℤ, +, ·), Polynomringe ℝ[x], Matrizenringe, Restklassenringe ℤ/nℤ. Ein Ring mit 1 hat ein multiplikatives neutrales Element. Ein kommutativer Ring hat a·b = b·a.
warum ist das wichtig?
Ringe sind DAS zentrale Klausur-Thema in algebraischen Strukturen. Du musst nachweisen können, ob eine Struktur ein Ring ist (alle 3 Bedingungen prüfen!). Ringe sind die Grundlage für Körper und moderne Kryptographie.
häufige fehler
- ⚠Ring braucht multiplikatives Inverses - Nein! ℤ ist Ring, aber 2 hat kein Inverses
- ⚠Multiplikation im Ring ist kommutativ - Nein, nur bei kommutativen Ringen! Matrizenringe sind nicht kommutativ
- ⚠Ring = Körper - Nein, Körper ist spezieller Ring (Multiplikation ohne 0 bildet auch Gruppe)