Implikation (A → B)
Die Implikation A → B ('wenn A, dann B') ist eine logische Verknüpfung, die nur falsch ist, wenn A wahr und B falsch ist. In allen anderen Fällen ist sie wahr.
detaillierte erklärung
Die Implikation (auch Subjunktion oder Konditional genannt) ist eine fundamentale logische Operation. A → B wird gelesen als 'wenn A, dann B', 'A impliziert B' oder 'aus A folgt B'. Die Wahrheitstabelle: A=wahr, B=wahr → wahr | A=wahr, B=falsch → falsch | A=falsch, B=wahr → wahr | A=falsch, B=falsch → wahr. Der Fall 'A falsch → Implikation wahr' (vacuous truth) verwirrt viele: Eine Implikation mit falscher Prämisse ist automatisch wahr, weil sie nichts über den Fall aussagt. Wichtige Beziehungen: (1) Kontraposition: A → B ist äquivalent zu ¬B → ¬A, (2) ¬(A → B) ist äquivalent zu A ∧ ¬B, (3) A → B ist nicht äquivalent zu B → A (das wäre die Umkehrung). In der Mathematik sind Implikationen allgegenwärtig: Definitionen, Sätze, Induktionsschritte.
warum ist das wichtig?
Implikationen sind die Grundstruktur mathematischer Sätze und Beweise. Vollständige Induktion basiert auf P(n) → P(n+1). Ohne Implikationsverständnis sind Beweise unmöglich.
häufige fehler
- ⚠A → B bedeutet B → A - Nein! Das ist die Umkehrung, die nicht automatisch gilt
- ⚠Wenn A falsch ist, ist A → B falsch - Nein! Implikation mit falscher Prämisse ist wahr
- ⚠Implikation als kausale Beziehung - A → B ist logisch, nicht kausal ('Wenn es regnet, ist die Straße nass' vs. 'Wenn 2+2=5, bin ich der Papst')
- ⚠Verwechslung mit Äquivalenz - A → B ≠ A ↔ B