Körper
Ein Körper ist ein kommutativer Ring, bei dem auch (K\{0}, ·) eine abelsche Gruppe ist. Jedes Element außer 0 hat ein multiplikatives Inverses. Beispiele: ℚ, ℝ, ℂ.
detaillierte erklärung
Ein Körper (K, +, ·) ist eine algebraische Struktur, die ein kommutativer Ring mit 1 ist, bei der zusätzlich jedes Element außer der Null ein multiplikatives Inverses besitzt. Formal: 1) (K, +, ·) ist ein kommutativer Ring. 2) (K\{0}, ·) ist eine abelsche Gruppe. In einem Körper kannst du addieren, subtrahieren, multiplizieren UND dividieren (außer durch 0). Beispiele: (ℚ, +, ·), (ℝ, +, ·), (ℂ, +, ·), endliche Körper wie ℤ/pℤ für Primzahl p. ACHTUNG: ℤ ist KEIN Körper (2 hat kein Inverses in ℤ).
warum ist das wichtig?
Körper sind die algebraische Essenz von "Zahlen" - du brauchst sie für lineare Algebra (Vektorräume), Kryptographie (endliche Körper in AES/ECC) und Klausuren (zeige, dass ℤ/pℤ ein Körper ist genau dann wenn p prim).
häufige fehler
- ⚠ℤ ist ein Körper - Nein! ℤ ist nur Ring (z.B. 3⁻¹ existiert nicht in ℤ)
- ⚠Endliche Körper existieren für jede Größe - Nein! Nur für Primzahlpotenzen pⁿ
- ⚠Körper = Ring mit 1 - Nein, zusätzlich braucht jedes Element ≠ 0 ein multiplikatives Inverses